Σ sigma (西格瑪)
公式
\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
\]
\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
\[
\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
\]
\[
\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}
\]
∑ 的性質
-
常數和：
\[ \sum_{k=1}^{n} c = nc \quad (c \text{ 表示任一常數}) \] -
係數可以提出：
\[ \sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=1}^{n} a_k \]其中 \(c\) 是與 \(k\) 無關的常數。
-
∑ 的後面有加減可以拆：
\[ \sum_{k=1}^{n}(a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k \] -
∑ 的後面很多相乘：
先乘開，再利用加減可以拆的性質。例如：
\[ \sum_{k=1}^{n}(2k-1)(3k+1) \]先乘開：
\[ (2k-1)(3k+1) = 6k^2-k-1 \]
所以：
\[ \sum_{k=1}^{n}(2k-1)(3k+1) = \sum_{k=1}^{n}(6k^2-k-1) \]再拆成：
\[ 6\sum_{k=1}^{n}k^2 - \sum_{k=1}^{n}k - \sum_{k=1}^{n}1 \] -
相乘不能直接拆成兩個 ∑ 相乘：
一般來說，
\[ \sum_{k=1}^{n}(a_kb_k) \neq \left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right) \left(\sum_{k=1}^{n}b_k\right) \]原因是右邊乘開後會多出交叉項。
例如：
\[ a_1b_1+a_2b_2 \neq (a_1+a_2)(b_1+b_2) \]
因為：
\[ (a_1+a_2)(b_1+b_2) = a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2 \]
所以遇到相乘時，通常要先把括號乘開，再利用性質 2、3 拆 ∑。
-
平方不能直接移到 ∑ 外面：
一般來說，
\[ \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \neq \left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)^2 \]原因是右邊平方後會多出交叉項。
例如：
\[ a_1^2+a_2^2 \neq (a_1+a_2)^2 \]
因為：
\[ (a_1+a_2)^2 = a_1^2+2a_1a_2+a_2^2 \]
所以要記：
\[ \boxed{ \sum a_k^2 \neq \left(\sum a_k\right)^2 } \]∑ 裡面的平方要留在每一項上，不能直接把平方搬到整個 ∑ 外面。