log

對數有幾個常見的基數，包括自然對數（以\(e\)為底，記為\(\text{ln}\)）、十進制對數（以\(10\)為底，記為\(\text{log}\)）和二進制對數（以\(2\)為底，記為\(\text{log}_2\)）。

對數的定義是這樣的：如果 \(a^x = b\)，那麼 \(x\) 是 \(b\) 的以 \(a\) 為底的對數，記為 \(\log_a b = x\)。這裡的\(a\) 稱為底數，\(b\) 是對數的真數。

\[
a^x = b \implies \log_a b = x
\]

對數的性質

1. 乘法變加法：

   \[
   \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y
   \]

2. 除法變減法：

   \[
   \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y
   \]

3. 冪的規則：

   \[
   \log_a (x^b) = b \cdot \log_a x
   \]

4. 底數變換公式：

   \[
   \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}
   \]

對數在科學、工程學、計算機科學和金融等領域有著廣泛的應用，例如在計算複利或解決指數方程時特別有用。